सीमा ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [x(x+1)]$

यदि $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{e^{\sqrt{\tan x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{\tan x} - \sqrt{x}} \right)$ और $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{2} \cot x}$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx - \sqrt{e} = 0$ के मूल हैं,तो $12 \log_e(a + b)$ का मान ............. है।

$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1+5x^2}{1+3x^2} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ का मान है

यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,तो

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\cot }^{ - 1}}\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)}}{{{{\sec }^{ - 1}}\left\{ {{{\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^x}} \right\}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n+(-2)^n}{2^n}$ का अस्तित्व नहीं है।
$II$. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+(-3)^n}{4^n}$ का अस्तित्व नहीं है।
तब,